Question

19．如圖，在平行四邊形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OA-AB運(yùn)動；動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OC-CB運(yùn)動，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2$\sqrt{3}$），對角線OB的長度是4$\sqrt{7}$cm；
（2）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時，S的值最大？

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OA于E，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求出OE、CE的長，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BD的長；
（2）分當(dāng)0＜t≤4時，當(dāng)4≤t≤8時，當(dāng)8≤t＜12時三種情況，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，作CE⊥OA于E，BF⊥OA交x軸于F，
∵∠AOC=60°，OC=4cm，
∴OE=2cm，CE=2$\sqrt{3}$cm，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2$\sqrt{3}$），
∵OC∥AB，
∴∠BAF=∠AOC=60°，AB=OC=4cm，
∴AF=2cm，
∴OF=10cm，又BF=CE=2$\sqrt{3}$cm，
∴OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$cm，
故答案為：2；2$\sqrt{3}$；4$\sqrt{7}$；
（2）當(dāng)0＜t≤4時，如圖2，作QH⊥OA于H，
∵∠AOC=60°，OQ=t，
∴QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
S=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²；
當(dāng)4≤t≤8時，如圖2，作QG⊥OA于G，
S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×t=$\sqrt{3}$t；
當(dāng)8≤t＜12時，如圖4，
延長QP交x軸于M，作PN⊥x軸于N，
∵BQ=12-t，BP=12-t，∠B=∠AOC=60°，
∴△BQP是等邊三角形，則△PAM為等邊三角形，
∵AP=t-8，∠BAM=60°，
∴PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-8），
△OQM的面積=$\frac{1}{2}$×t×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$t，
△OPM的面積=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-8）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t（t-8），
∴S=△OQM的面積-△OPM的面積=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+3$\sqrt{3}$t，
當(dāng)0＜t≤4時，面積最大是4$\sqrt{3}$，
當(dāng)4≤t≤8時，面積最大是8$\sqrt{3}$，
當(dāng)8≤t＜12時，S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+3$\sqrt{3}$t，面積最大是8$\sqrt{3}$，此時t=8，
∴當(dāng)t=8時，S的值最大．

點(diǎn)評 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和函數(shù)的知識，掌握平行四邊形的對邊平行且相等以及等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．