Question

1．已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A），
①當(dāng)△PBC的面積與△ABC的面積相等時，求點P的坐標(biāo)；
②如圖2，當(dāng)∠PCB=∠BCA時，求直線CP的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式，A、C兩點坐標(biāo)，列方程組，求拋物線解析式；
（2）①只需要AP∥BC即可滿足題意，先求直線BC解析式，根據(jù)平行線的解析式一次項系數(shù)相等，設(shè)直線AP的解析式，將A點坐標(biāo)代入可求直線AP的解析式，將拋物線與直線AP解析式聯(lián)立，即可求P點坐標(biāo)，再根據(jù)平移法求滿足條件的另外兩個P點坐標(biāo)；
②延長CP交x軸于點Q，根據(jù)拋物線解析式可知△OBC為等腰直角三角形，利用角的關(guān)系證明∠OCA=∠OQC，可證Rt△AOC∽Rt△COQ，利用相似比求解．

解答 解：（1）由題意，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；

（2）①當(dāng)點P在x軸上方時，如圖1，

過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，
設(shè)BC所在直線解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=-3}\\{k=1}\end{array}\right.$
故直線BC的解析式為y=x-3，
設(shè)直線AP的解析式為y=x+n，
∵直線AP過點A（1，0），代入求得n=-1．
∴直線AP的解析式為y=x-1
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
∴點P₁（2，1），
當(dāng)點P在x軸下方時，如圖1：

設(shè)直線AP₁交y軸于點E（0，-1），
把直線BC向下平移2個單位，交拋物線于點P₂，P₃，
得直線P₂P₃的解析式為y=x-5，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-7+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-7-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{17}}{2}$），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為：P₁（2，1），P₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{17}}{2}$）；

②∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
設(shè)直線CP的解析式為y=wx-3，
如圖2，延長CP交x軸于點Q，
設(shè)∠OCA=α，則∠ACB=45°-α，
∵∠PCB=∠BCA，
∴∠PCB=45°-α，
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，
∴∠OCA=∠OQC，
又∵∠AOC=∠COQ=90°，
∴Rt△AOC∽Rt△COQ，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OQ}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{OQ}$，
∴OQ=9，∴Q（9，0）
∵直線CP過點Q（9，0），
∴9w-3=0，
∴w=$\frac{1}{3}$．
∴直線CP的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x-3．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．