Question

11．如圖所示，平面上三個正三角形ACE，△ABD，△BCF兩兩共有一個頂點，求證：CD與EF互相平分．

Answer 1

分析 首先連接DE、DF，由△CBF和△ABD是等邊三角形，易證得△CBA≌△FBD（SAS），繼而證得AC=DF，則可得DF=EC，同理可得DE=FC，則可判定四邊形DECF是平行四邊形，證得CD與EF互相平分．

解答 證明：如圖，連接DE、DF，
∵△CBF和△ABD是等邊三角形，
∴CB=FB，BA=BD，∠ABD=∠CBF=60°，
∵∠CBA=60°-∠ABF，∠FBD=60°-∠ABF，
∴∠CBA=∠FBD，
在△CBA和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=FB}\\{∠CBA=∠FBD}\\{BA=BD}\end{array}\right.$，
∴△CBA≌△FBD（SAS），
∴AC=DF，
又∵EC=AC，
∴DF=EC，
同理可得：DE=FC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴CD與EF互相平分．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．