Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD、CE，BD，CE相交于點F，且∠ADB=∠DAE．
（1）求證：AD²=BO•BD；
（2）求證：四邊形ABFE為菱形．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，證出∠BAC=∠ADB，再由∠ABO=∠DBA，得出△ABO∽△DBA，得出對應(yīng)邊成比例證出AB²=BO•BD，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，得出∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，∠BAD=∠CAE，證出∠DAE=∠ADB，得出AE∥BD，由三角形內(nèi)角和定理證出∠ABD=∠ACE，得出∠BAC=∠ACE，證出AB∥CE，得出四邊形ABFE是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ADE≌△ABC，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∵∠ADB=∠DAE，
∴∠BAC=∠ADB，
又∵∠ABO=∠DBA，
∴△ABO∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BO}{AB}$，
∴AB²=BO•BD，
∴AD²=BO•BD；

（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ADE≌△ABC，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∵∠ADB=∠DAE，
∴AE∥BD，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
又∵AB=AE，
∴四邊形ABFE為菱形．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定方法、菱形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定方法；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵，有一定難度．