Question

18．已知：如圖，在菱形ABCD中，點E在邊BC上，點F在BA的延長線上，BE=AF，CF∥AE，CF與邊AD相交于點G．
求證：（1）FD=CG；
（2）CG²=FG•FC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠FAD=∠B，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FD=EA，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠DCF=∠BFC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAE=∠BFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠FDA，等量代換得到∠DCF=∠FDA，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
在△ADF與△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAD=∠B}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE，
∴FD=EA，
∵CF∥AE，AG∥CE，
∴EA=CG，
∴FD=CG；

（2）∵在菱形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DCF=∠BFC，
∵CF∥AE，
∴∠BAE=∠BFC，
∴∠DCF=∠BAE，
∵△ADF≌△BAE，
∴∠BAE=∠FDA，
∴∠DCF=∠FDA，
又∵∠DFG=∠CFD，
∴△FDG∽△FCD，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{FG}{FD}$，F(xiàn)D²=FG•FC，
∵FD=CG，
∴CG²=FG•FC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．