Question

20．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC相交于點(diǎn)D，E，BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求$\widehat{BD}$的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由切線(xiàn)的性質(zhì)即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得出，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；
（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再結(jié)合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示．

∵DF是⊙O的切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴$\widehat{BD}$的長(zhǎng)=$\frac{nπR}{180}$=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理以及等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等邊三角形．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)角的計(jì)算找出90°的角是關(guān)鍵．