Question

3．如圖，AM、AT分別為△ABC的中線及角平分線，△AMT的外接圓分別與AB、AC相交于E、F．求證：BE=CF．

Answer 1

分析 由割線定理得出CF•CA=CT•CM，BE•BA=BM•BT，得出比例式$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}$•$\frac{BT}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}•\frac{BM}{CM}$，由已知條件得出BM=CM，得出$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}$，再由角平分線性質(zhì)定理得出$\frac{BT}{CT}=\frac{BA}{CA}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由割線定理得：CF•CA=CT•CM，BE•BA=BM•BT，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}$•$\frac{BT}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}•\frac{BM}{CM}$，
∵AN是中線，
∴BM=CM，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}$，
由角平分線性質(zhì)定理，得：$\frac{BT}{CT}=\frac{BA}{CA}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=1，
∴BE=CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓，割線定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，需要運(yùn)用割線定理和角平分線的性質(zhì)定理才能得出結(jié)論．