Question

14．某運(yùn)動(dòng)器械廠根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)算生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的按摩椅，某部分信息如下：A、B兩種型號(hào)的按摩椅共生產(chǎn)40臺(tái)，該廠所籌生產(chǎn)按摩椅的資金不少于90萬(wàn)元，但不超過91萬(wàn)元，且所籌資金全部用于這兩種按摩椅，現(xiàn)已知A、B兩種按摩椅的生產(chǎn)成本和售價(jià)如表：

型號(hào)	成本（萬(wàn)元/臺(tái)）	售價(jià)（萬(wàn)元/臺(tái)）
A	2	2.4
B	2.5	3

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）該公司對(duì)此兩種按摩椅有幾種生產(chǎn)方案？那種生產(chǎn)方案獲得最大利潤(rùn)？
（2）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)A型按摩椅的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元（a＞0），每臺(tái)B型按摩椅售價(jià)不會(huì)改變，該公司應(yīng)如何生產(chǎn)才可以獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

分析 （1）在題目中，每種型號(hào)的成本及總成本的上限和下限都已知，所以設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅x臺(tái)，則B型按摩椅（40-x）臺(tái)的情況下，可列不等式組得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2.5（40-x）≥90}\\{2x+2.5（40-x）≤91}\end{array}\right.$，解不等式組，取其整數(shù)值即可求解；在知道生產(chǎn)方案以及每種利潤(rùn)情況下可列函數(shù)解析式w=（2.4-2）x+（3-2.5）×（40-x）=20-0.1x，利用函數(shù)的自變量取值范圍和其單調(diào)性即可求得函數(shù)的最值；
（2）結(jié)合（1）得，在此w′=（0.4+a）x+0.5（40-x）=（a-0.1）x+20，必須把（a-0.1）正負(fù)性考慮清楚，即a＞0.1，a=0.1，a＜0.1三種情況，最終才能得出結(jié)論，即怎樣安排，完全取決于a的大�。�

解答 解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種型號(hào)的按摩椅x臺(tái)，則B型按摩椅（40-x）臺(tái)，生產(chǎn)利潤(rùn)為w萬(wàn)元，
有題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2.5（40-x）≥90}\\{2x+2.5（40-x）≤91}\end{array}\right.$，
解得：18≤x≤20，
∵x取非負(fù)整數(shù)，
∴x為18，19，20．
∴有三種生產(chǎn)方案
①A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)；
②A型按摩椅19臺(tái)，B型按摩椅21臺(tái)；
③A型按摩椅20臺(tái)，B型按摩椅20臺(tái)；
w=（2.4-2）x+（3-2.5）×（40-x）=20-0.1x，
∵-0.1＜0，
∴當(dāng)x=18時(shí)，w_最大=20-0.1×18=18.2，
∴該公司對(duì)此兩種按摩椅有3種生產(chǎn)方案，當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)；獲得最大利潤(rùn)18.2萬(wàn)元．
（2）當(dāng)每臺(tái)A型按摩椅的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元（a＞0），每臺(tái)B型按摩椅售價(jià)不會(huì)改變時(shí)，此時(shí)的利潤(rùn)為：
w′=（0.4+a）x+0.5（40-x）=（a-0.1）x+20，
當(dāng)a-0.1＞0時(shí)，即a＞0.1，
∴當(dāng)x=20時(shí)，w′_最大=20a+18，
即當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅20臺(tái)，B型按摩椅20臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)．
當(dāng)a-0.1=0時(shí)，即a=0.1，
∴當(dāng)x=20時(shí)，w′=20，
即三種生產(chǎn)方案的獲利一樣大．
當(dāng)a-0.1＜0時(shí)，即a＜0.1，
∴當(dāng)x=18時(shí)，w′_最大=18a+18.2，
即當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)．
答：當(dāng)a＞0.1時(shí)，當(dāng)生產(chǎn)A型按摩椅20臺(tái)，B型按摩椅20臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)；
當(dāng)a=0.1時(shí)，3種方案獲利一樣；
當(dāng)a＜0.1時(shí)，生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，B型按摩椅22臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是用函數(shù)知識(shí)去解題，以及會(huì)討論函數(shù)的最大值．要結(jié)合自變量的范圍求函數(shù)的最大值，并要把（a-0.1）正負(fù)性考慮清楚，分情況討論問題．