Question

7．如圖，正方形ABCD由16個邊長為1的小正方形組成，形變后變成菱形A′B′C′D′，△AEF（E，F(xiàn)是小正方形的頂點）同時形變?yōu)椤鰽′E′F．設(shè)這個菱形的“形變度”為k，對于△AEF與△A′E′F′的面積之比你有何猜想，當(dāng)△AEF與△△A′E′F′的面積之比等于2：$\sqrt{3}$時，求A′C′的長．

Answer 1

分析 先求出△AEF的面積，再根據(jù)面積關(guān)系求出∠A′B′C′=60°，證明△A′B′C′是等邊三角形，得出A′C′=A′B′=4．

解答 解：如圖所示：

S_△AEF=S_△AGF+S_△GEF=$\frac{1}{2}$GE•AB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
△AEF變成菱形A′B′C′D′時的△A′E′F′的面積，G′E′的長度沒有變化，
A′到B′C′的距離變小了，A′B′的長度也沒有變化，
而A′到B′C′的距離的大小取決于∠A′B′C′，
設(shè)∠A′B′C′=α，
過點A′作A′H′⊥B′C′，垂足為H′，

則A′H′=A′B′sinα=4sinα，
∴S_{△A′E′F′}=$\frac{1}{2}$G′E′•A′H′=$\frac{1}{2}$×2×4sinα，
∴S_△AEF：S_{△A′E′F′}=4：4sinα=2：$\sqrt{3}$，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴α=60°，
又∵A′B′=B′C′，
∴△A′B′C′是等邊三角形，
∴A′C′=A′B′=4．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算；根據(jù)面積關(guān)系求出∠A′B′C′，證明等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．