Question

20．如圖，在四邊形ABFC中，∠BAC=∠BFC=∠BCN=90°，E為BC中點，過C作CN⊥BC交AF于N點，連接EN交BF于M點，連接CM交AN于G點，若AB=AF，求證：MG=GC．

Answer 1

分析 如圖，過點E作EH⊥AF于H，連接CH，易證A、B、F、C四點共圓，E、H、C、N四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠CAF=∠CBF，∠CHN=∠CEN，從而可得∠AHC=∠BEM，即可得到△AHC∽△BEM，則有$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$．易證點E為過A、B、F、C的圓的圓心，根據(jù)垂徑定理可得AH=HF=$\frac{1}{2}$AF．即可得到$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{BC}$，由此可證到△CAF∽△MBC，則有∠ACF=∠BMC．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得∠ACF+∠ABF=180°，根據(jù)平角的定義可得∠BMC+∠FMC=180°，根據(jù)等角的補角相等可得∠ABF=∠FMC．由AB=AF可得∠ABF=∠AFB，從而可得∠FMC=∠AFB，則有GM=GF．由∠MFC=90°可得∠MFG+∠GFC=90°，∠FMC+∠FCM=90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠GFC=∠FCM，則有GF=GC，即可得到GM=GF=GC．

解答 證明：如圖，過點E作EH⊥AF于H，連接CH，
則有∠EHN=90°．
∵∠BAC=∠BFC=∠BCN=90°，
∴∠BAC+∠BFC=180°，∠EHN=∠ECN=90°，
∴A、B、F、C四點共圓，E、H、C、N四點共圓，
∴∠CAF=∠CBF，∠CHN=∠CEN，
∴∠AHC=∠BEM，
∴△AHC∽△BEM，
∴$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$．
∵A、B、F、C四點共圓，∠BAC=90°，
∴BC是該圓的直徑．
∵E為BC中點，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，點E為該圓的圓心．
∵EH⊥AF，
∴根據(jù)垂徑定理可得AH=HF=$\frac{1}{2}$AF．
∴$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{BC}$．
又∵∠CAF=∠MBC，
∴△CAF∽△MBC，
∴∠ACF=∠BMC．
∵A、B、F、C四點共圓，
∴∠ACF+∠ABF=180°．
∵∠BMC+∠FMC=180°，
∴∠ABF=∠FMC．
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠FMC=∠AFB，
∴GM=GF．
∵∠MFC=90°，
∴∠MFG+∠GFC=90°，∠FMC+∠FCM=90°，
∴∠GFC=∠FCM，
∴GF=GC，
∴GM=GF=GC．

點評 本題主要考查了四點共圓的判定、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的對角互補、垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等角的補角相等、等角的余角相等等知識，有一定的難點．解決本題的關鍵是通過添加輔助線（作EH⊥AF于H，連接CH），證到△AHC∽△BEM，進而證到△CAF∽△MBC．