Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC=3，高BD=$\sqrt{5}$，∠BAC的平分線與BD交于點E，則DE的長為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 延長AE交BC于點F．在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理得到AD，進一步得到CD；在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理得到BC；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到CF，在Rt△AFC中，根據(jù)勾股定理得到AF，然后通過兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證明△DAE∽△FAC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求解．

解答 解：延長AE交BC于點F．

∵在△ABC中，AB=AC=3，高BD=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴CD=AC-AD=1，
∴在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵AE平分∠BAC，
∴CF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∠AFC=90°，
∴在Rt△AFC中，AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∵∠DAE=∠FAC，∠ADE=∠AFC=90°，
∴△DAE∽△FAC，
∴DE：AD=CF：AF，
∴DE=$\frac{AD•CF}{AF}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．