Question

18．已知：在△ABC中，
（1）AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，點E是AB邊上一點，點F在線段CE上，且△CBF≌△EBF（如圖①），求證：CE平分∠ACD；
（2）除去（1）中條件“AC=BC”，其余條件不變（如圖②），上述結(jié)論是否成立？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明△CBF≌△EBF，再根據(jù)外角的性質(zhì)，得∠BEF=∠A+∠ACE，即可得出∠ACE=∠DCE，則CE平分∠ACD；
（2）假設(shè)結(jié)論依然成立，由△CBF≌△EBF，得∠BCF=∠BEF，再由外角，得∠BEF=∠A+∠ACE，即可得出CE平分∠ACD．

解答 （1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∠A=∠ABC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠A，
∵△CBF≌△EBF，
∴∠BCF=∠BEF
∵∠BEF是△ACE的外角，
∴∠BEF=∠A+∠ACE，
又∵∠BCF=∠BCD+∠DCE
∴∠A+∠ACE=∠BCD+∠DCE
∴∠ACE=∠DCE
∴CE平分∠ACD；
（2）上述結(jié)論依然成立，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵△CBF≌△EBF，
∴∠BCF=∠BEF
∵∠BEF是△ACE的外角，
∴∠BEF=∠A+∠ACE，
又∵∠BCF=∠BCD+∠DCE
∴∠A+∠ACE=∠BCD+∠DCE
∴∠ACE=∠DCE
∴CE平分∠ACD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，掌握全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．