Question

3．如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D，E分別是BC，AC上一點，BD=AE，BE，AD交于M，
（1）求證：AM=BM；
（2）若∠BMD=45°，求$\frac{BM}{EM}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠ACB=90°，得到△是等腰直角三角形，求得∠BAC=∠ABC=45°，通過△ABD≌△BAE，得到∠1=∠2，AD=BE，于是得到結論；
（2）過D作DF⊥AB于F，DN⊥BE于N，得到△BDF是等腰直角三角形，求出BD=$\sqrt{2}$DF，由（1）知，AD=BE，EM=DM，AM=BM，根據(jù)∠1=∠2，∠BMD=∠1+∠2=45°，于是得到∠1=∠2=22.5°求得△DCE是等腰直角三角形，于是得到DE=$\sqrt{2}$CD=BD，根據(jù)垂直平分線的性質得到BN=EN，推出△MDN是等腰直角三角形，求得EM=DM=$\sqrt{2}$MN，于是得到BN=EN=EM+MN=（$\sqrt{2}$+1）MN，結論即可求得．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴△是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
在△ABD與△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠BAC=∠ABC}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAE，
∴∠1=∠2，AD=BE，
∴AM=BM；

（2）過D作DF⊥AB于F，DN⊥BE于N，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$DF，由（1）知，AD=BE，EM=DM，AM=BM，
∵∠1=∠2，∠BMD=∠1+∠2=45°，
∴∠1=∠2=22.5°，
∵∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，
∴AD，BM分別平分∠BAC，∠ABC，
∴CD=DF，
∴BD=$\sqrt{2}$CD，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD=BD，
∴DN是BE的垂直平分線，
∴BN=EN，
∵∠BMD=45°，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴EM=DM=$\sqrt{2}$MN，
∴BN=EN=EM+MN=（$\sqrt{2}$+1）MN，
∴$\frac{BM}{EM}=\frac{BN+MN}{EN-MN}=\frac{（\sqrt{2}+1）MN+MN}{（\sqrt{2}+1）MN-MN}$=$\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}+$1．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，線段的垂直平分線的性質，角平分線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．