Question

8．已知，如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊，分別在△ABC外作等邊△ABD，等邊△ACE．
（1）如圖1，求證：BE=CD；
（2）如圖1，求∠BOC的度數(shù)；
（3）如圖1，求證：AO平分∠DOE；
（4）如圖2，求證：AO+BO=DO；
（5）如圖3，若點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，求證：△APQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根據(jù)SAS證△ABE≌△ADC即可；
（2）根據(jù)全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案；
（3）過點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可；
（4）通過△DAC≌△BAE，得到∠1=∠2，于是得到∠4=∠DAB=60°，如圖2，作等邊三角形BOF，由于△BDF≌△BAO得到DF=AO，于是證得結(jié)論；
（5）由（4）證得△DAC≌△BAE，得到∠1=∠2，CD=BE，根據(jù)點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，于是得到PD=BQ，推出△ADP≌△ABQ，得到AP=AQ，∠3=∠4，根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．

（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-（∠ADC+∠BDO）
=180°-60°-60°
=60°．

（3）證明：如圖1，過點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC
∴-$\frac{1}{2}$BE•AM=$\frac{1}{2}$CD•AN，
∴AM=AN，
∴點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，
即OA平分∠DOE；

（4）證明：∵∠DAC=60°+∠BAC，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC與△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠DAB=60°，
如圖2，作等邊三角形BOF，
∵∠DBF=∠DBA-∠FBA=60°-∠FBA=∠2，
在△BDF與△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBF=∠2}\\{BF=BO}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BAO
∴DF=AO，
∴OD=OF+FD=OB+OA，

（5）證明：由（4）證得△DAC≌△BAE，
∴∠1=∠2，CD=BE，
∵點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，
∴PD=BQ，
在△ADP與△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠1=∠2}\\{DP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ABQ，
∴AP=AQ，∠3=∠4，
∴∠3+∠PAB=60°，
∴∠PAB+∠4=60°，
∴△APQ為等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．