Question

1．如圖：正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)O．
（1）若AB=4cm，求DE的長(zhǎng)．
（2）求證：OE=$\frac{1}{2}CF$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AD=AB=4cm，∠ADO=∠DAO=∠BAO-45°，再由角平分線和三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠AED，得出DE=AD即可；
（2）作OH∥BC，交AF于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線定理證明OH=$\frac{1}{2}$CF，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明∠OHE=∠AEO，則OE=OH，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4cm，∠ADO=∠DAO=∠BAO-45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠DAE=∠DAO+∠OAE=67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADO-∠DAE=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=4cm；
（2）證明：作OH∥BC，交AF于點(diǎn)H．如圖所示：
∵OH∥BC，且正方形ABCD中，AO=OC，
∴AH=HF，即OH是△ACF的中位線．
∴OH=$\frac{1}{2}$CF．
∵HO∥BC，
∴∠AOH=∠ACB=45°，
∴∠OHE=∠AOH+∠FAC=45°+∠FAC，
又∵∠AEO=∠ABD+∠BAE=45°+∠BAE，∠FAC=∠BAE，
∴∠OHE=∠AEO，
∴OE=OH，
∴OE=$\frac{1}{2}CF$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰三角形的判定；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明角相等或運(yùn)用三角形的中位線定理把題目轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題是關(guān)鍵．