Question

5．已知方程x²+2（m-2）x+m²+4=0有兩個實數(shù)根，且兩個根的平方和比兩根的積大40，求m的值．

Answer 1

分析 設(shè)方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系可知x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²+4，結(jié)合兩個根的平方和比兩根的積大40即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m的值，再根據(jù)方程有實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范圍，由此即可確定m的值．

解答 解：設(shè)方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²+4，
∵${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$-x₁•x₂=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-3x₁•x₂=40，
∴[-2（m-2）]²-3（m²+4）=40，
整理，得：m²-16m-36=0，
解得：m₁=-2，m₂=18．
∵方程x²+2（m-2）x+m²+4=0有兩個實數(shù)根，
∴△=[-2（m-2）]²-4（m²+4）=-16m≥0，
∴m≤0，
∴m的值為-2．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式找出關(guān)于m的一元二次方程以及一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．