Question

4．如圖，直線y=$\frac{3}{4}$x的圖象與拋物線y=ax²-4ax+c交于A、B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），且與此拋物線的對稱軸交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，若點D與點C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求出對稱軸為x=2，然后求出與一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x的交點，即點C的坐標(biāo)；
（2）①先求出點D的坐標(biāo)，設(shè)A坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m），然后根據(jù)面積為3，求出m的值，得出點A的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求出a、c的值，即可求出解析式；

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+c=a（x-2）²-4a+c，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，
當(dāng)x=2時，y=$\frac{3}{4}$x=$\frac{3}{2}$，
故點C（2，$\frac{3}{2}$）；

（2）∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，
∴D（2，-$\frac{3}{2}$，），
∴CD=3，
設(shè)A（m，$\frac{3}{4}$m）（m＜2），
由S_△ACD=3得：$\frac{1}{2}$×3×（2-m）=3，
解得m=0，
∴A（0，0）．
由A（0，0）、D（2，-$\frac{3}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a-8a+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{3}{8}$，c=0．
∴此拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x．

點評 本題考查了二次根式的綜合題，涉及了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積公式，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識點，綜合性較強，難度較大．