Question

15．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，D同時(shí)以同樣的速度沿邊BC，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，EF=$\sqrt{3}$BE；④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積最大．上述結(jié)論中正確的序號(hào)有①②③．

Answer 1

分析 ①利用全等三角形的判定得△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
②利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定定理，同位角相等，兩直線平行，得出結(jié)論；
③利用菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，得∠BCO=60°，再利用銳角三角函數(shù)求得EF；
④表示出三角形的面積，利用二次函數(shù)最值得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC、DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
故①正確；
∴CE=CF，
∴∠CEF=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∵∠DBC=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∠CEF=∠DBC，
∴EF∥BD，
故②正確；
當(dāng)E、F分別為邊BC、DC的中點(diǎn)時(shí)，連接BD，
EF=$\frac{1}{2}$=BO，
連接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AC⊥BD，∠CBD=30°，
∴∠BCO=60°，
BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2BE=$\sqrt{3}$BE，
∴EF=$\sqrt{3}$BE，
故③正確；
∵△AEF的面積=菱形ABCD的面積-△ABE的面積-△ADF的面積-△CEF的面積
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB²-$\frac{1}{2}$BE•AB×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（AB-BE）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴△AEF的面積是BE的二次函數(shù)，
∴當(dāng)BE=0時(shí)，△AEF的面積最大，
故④錯(cuò)誤．
故正確的序號(hào)有①②③．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和利用二次函數(shù)最值是解題關(guān)鍵．