Question

1．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為4.8．

Answer 1

分析 先利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，∠A=90°，則證明四邊形AEPF為矩形，連接AP，如圖，則EF=AP，當(dāng)AP的值最小時(shí)，EF的值最小，利用垂線段最短得到AP⊥BC時(shí)，AP的值最，然后利用面積法計(jì)算此時(shí)AP的長即可．

解答 解：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC為直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四邊形AEPF為矩形，
連接AP，如圖，EF=AP，當(dāng)AP的值最小時(shí)，EF的值最小，
當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最，此時(shí)AP=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴EF的最小值為$\frac{24}{5}$．
故答案為4.8．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)：關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等．同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題．