Question

11．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=10，邊OA=6．
（1）C點的坐標為（8，0）；
（2）把矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A處，直線DE與OC、AC、AB的交點分別為D，F(xiàn)，E，求折痕DE的長；
（3）若點M在x軸上，以M、D、F、N為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{31}{4}$，3）、（ $\frac{7}{8}$，3）．．

Answer 1

分析 （1）要求點C的坐標，只需運用勾股定理求出OC即可．
（2）易證△AFE≌△CFD，得到EF=DF，要求DE，只需求出DF．先證明△DFC∽△AOC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可求出DF，進而求出DE．
（3）構(gòu)成菱形的四個頂點的順序不定，需分情況討論．由于D、F是定點，可將線段DF分為兩大類：DF為菱形的一邊、DF為菱形的對角線．然后分別討論即可．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°．
∵AC=10，OA=6，
∴OC=8．
∴C點的坐標為（8，0）．
（2）由折疊可得：DE⊥AC，AF=FC=5．
∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴$\frac{DF}{AO}$=$\frac{FC}{OC}$=$\frac{DC}{AC}$．
∴$\frac{DF}{6}$=$\frac{5}{8}$=$\frac{DC}{10}$．
∴DF=$\frac{15}{4}$，DC=$\frac{25}{4}$．
∴OD=OC-DC=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．
∴DE=2DF=2×$\frac{15}{4}$=$\frac{15}{2}$．
∴折痕DE的長為$\frac{15}{2}$．
（3）過點F作FH⊥DC，垂足為H，如圖2，
∵S△DFC=$\frac{1}{2}$DF•FC=$\frac{1}{2}$DC•FH，DF=$\frac{15}{4}$，F(xiàn)C=5，DC=$\frac{25}{4}$，
∴FH=3．
∵FH⊥DC，DF=$\frac{15}{4}$，F(xiàn)H=3，
∴DH=$\frac{9}{4}$．
∴OH=OD+DH=4．
∴F（4，3）．
①若DF為菱形的一邊
當DM為菱形的對角線時，如圖3．點N與點F關(guān)于x軸對稱，則點N的坐標為（4，-3）．
當DM為菱形的另一邊時，如圖4．此時FN∥DM，F(xiàn)N=DF=$\frac{15}{4}$．
∵F（4，3），
∴點N的坐標為（4-$\frac{15}{4}$，3）或（4+$\frac{15}{4}$，3）即（$\frac{1}{4}$，3）或（$\frac{31}{4}$，3）．
②若DF為菱形的對角線，如圖5．
∵四邊形DNFM為菱形，
∴MN⊥DF，DG=$\frac{1}{2}$DF．
∵DF⊥AC，
∴∠DGM=∠DFC=90°．
∴MN∥AC．
∴△DGM∽△DFC．
∴$\frac{DM}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$=$\frac{1}{2}$．
∴DM=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{25}{8}$．
∵四邊形DNFM為菱形，
∴NF∥DM，NF=DM=$\frac{25}{8}$．
∴點N的坐標為（4-$\frac{25}{8}$，3）即（$\frac{7}{8}$，3）．
綜上所述：符合要求的點N的坐標可能為（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{31}{4}$，3）、（ $\frac{7}{8}$，3）．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{31}{4}$，3）、（ $\frac{7}{8}$，3）．

點評 本題運用了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形相似（包括全等）的性質(zhì)及判定、勾股定理等知識，綜合性強；另外，還考查了分類討論的思想，注重對學生知識和能力的考查，是一道好題．