Question

7．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），C（2，m），且0＜x₁＜x₂＜2．
（1）求證：m＞0；
（2）若b≥1，求證：m＜1．

Answer 1

分析 （1）可以根據(jù)已知畫(huà)出二次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象分析可以證明m＞0．
（2）利用二次函數(shù)交點(diǎn)式與一般式寫(xiě)出等式，根據(jù)特殊點(diǎn)帶入，求出bm的一個(gè)代數(shù)式，通過(guò)展開(kāi)代數(shù)式和代數(shù)式因式分解，即可證明m＜1．

解答 證明：（1）∵二次函數(shù)y=x²+ax+b二次項(xiàng)系數(shù)為1，
∴二次函數(shù)圖象拋物線(xiàn)開(kāi)口向上．
∵二次函數(shù)y=x²+ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），C（2，m），且0＜x₁＜x₂＜2．如圖：

∴二次函數(shù)當(dāng)x=x₂時(shí)，y=0，且x＞x₂時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴m＞0；

（2）由已知得：x²+ax+b=（x-x₁）（x-x₂），
令x=0得b=x₁x₂，
令x=2得m=（2-x₁）（2-x₂），
∴bm=x₁x₂（2-x₁）（2-x₂）=[1-（x-x₁）²][1-（x₂-1）²]，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
0＜1-（x-x₁）²＜1，0＜1-（x₂-1）²＜1，
并且1-（x-x₁）²=1和1-（x₂-1）²=1不能同時(shí)成立，
∴0＜bm＜1，
又∵b≥1，
∴m＜1．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力，特別是代數(shù)式的變形，更能看出本題作為奧數(shù)解答題的重要性．