Question

14．已知：△ABC中，∠C=90°，BF⊥AB，BD=BF，F(xiàn)E⊥BC，求證：
（1）∠CAD=∠FAB；（2）CD=BE．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥BF于M，△DEF≌△MFD，得∠DFE=∠FDM，再證明∠FDM=∠FAB，∠CAD=∠DFE，即可解決問題．
（2）作DN⊥AB于N．由角平分線的性質定理得DC=DN，再證明四邊形DMBN是矩形，得DN=BM，只要證明BE=BM即可解決問題．

解答 證明：（1）作DM⊥BF于M．
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠BFD，
在△DEF和△FMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠MFD}\\{∠DEF=∠DNF=90°}\\{DF=FD}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△MFD，
∴∠DFE=∠FDM，
∵AB⊥BF，DM⊥BF，
∴DM∥AB，
∴∠FDM=∠FAB，
∵FE⊥BC，∠C=90°，
∴∠C=∠FED=90°，
∴AC∥EF，
∴∠CAD=∠DFE，
∴∠CAD=∠BAF．

（2）作DN⊥AB于N．
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DN⊥AB，
∴CD=DN，
∵△DEF≌△FMD，
∴DE=FM，∵BD=BF，
∴BE=BM，
∵∠DNB=∠NBM=∠BMD=90°，
∴四邊形DMBN是矩形，
∴DN=BM，
∴CD=BE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．