Question

8．如圖，兩個等腰直角三角形ABC、CDE，頂點C重合，點B、C、E共線，F(xiàn)是AE的中點，連BF、DF，求證：BF=DF且BF⊥DF．

Answer 1

分析 根據(jù)直線三角形斜邊上中線得出BF=DF，BF=AF，DF=AF，求出∠BFE=∠FBA+∠FAB=2∠FAB，∠DFE=2∠DAF，即可得出答案．

解答 證明：∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵在Rt△ABE和Rt△ADE中，∠ABC=∠CDE=90°，F(xiàn)為AE的中點，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，DF=$\frac{1}{2}$AE，
∴BF=DF；
∵BF=$\frac{1}{2}$AE，F(xiàn)為AE的中點，
∴BF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠BFE=∠FBA+∠FAB=2∠FAB，
同理∠DFE=2∠DAF，
∴∠BFD=∠BFE-∠DFE=2∠FAB-2∠FAD=2∠BAC=90°，
即BF⊥DF．

點評 本題考查了三角形外角性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰直角三角形等知識點，能綜合運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．