Question

12．如圖所示，二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．
（1）求m的值；
（2）求直線AC的解析式；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入拋物線解析式可確定m的值；
（2）先通過拋物線解析式確定C點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（3）先通過解方程-x²+2x+3=0確定B點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 解：（1）把A（3，0）代入y=-x²+2x+m得-9+6+m=0，
解得m=3；
（2）拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
當x=0時，y=-x²+2x+3=3，則C（0，3）；
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直線AC的解析式為y=-x+3；
（3）當y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，則B（-1，0），
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程的問題．也考查了待定系數(shù)法法求與一次函數(shù)解析式．