Question

20．如圖，二次函數(shù)y=ax²-2ax-6的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A、C，且△ABC的面積為30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，過點(diǎn)P、B、C作圓M，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求a的值及直線AC的解析式；
（2）當(dāng)圓心M落在該拋物線上時(shí)，求t的值；
（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，
①連接MP、MB，若△MPB有一個(gè)內(nèi)角為45°，求t的值；
②若圓M上有一點(diǎn)Q滿足BQ=CP，當(dāng)以點(diǎn)P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形時(shí)，t的值為（4-2$\sqrt{3}$）s或（4+2$\sqrt{3}$）s或（4+6$\sqrt{3}$）s．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）利用三角形面積公式求出AB，根據(jù)對(duì)稱軸x=1，推出A．B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2））△PBC的外接圓的圓心在線段BC的垂直平分線y=-x上，求出直線y=-x與拋物線的交點(diǎn)，即可推出點(diǎn)M坐標(biāo)，由此即可解決問題．
（3）①分三種情形a、由MP=MB，可知當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，∠PBM=45°，此時(shí)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，t=4．b、如圖2中，當(dāng)∠PMB=45°時(shí)，設(shè)M（m，-m），c、如圖3中，當(dāng)P在B右側(cè)時(shí)，∠PMB=45°，分別列出方程解決問題即可．
②分兩種情形a、如圖4中，設(shè)⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則根據(jù)對(duì)稱性可知PC=BQ，當(dāng)△PQM是等邊三角形時(shí)，PQ=PM，設(shè)P（m，0），列出方程解決問題；b、∠如圖5中，作CQ⊥OC交⊙M于Q，根據(jù)對(duì)稱性可知，BQ=CP．當(dāng)△PMQ是等邊三角形時(shí)，由PM=PQ，設(shè)P（m，0），作QN⊥x軸于N，由∠NPQ+∠BPQ=180°，∠BPQ+∠PCQ=180°，推出∠NPQ=∠PCQ=45°，推出△PQN是等腰直角三角形，求出PQ即可，再列出方程解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²-2ax-6的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，-6），
∴OC=6，
∵$\frac{1}{2}$•AB•OC=30，
∴AB=10，
∵拋物線的對(duì)稱軸x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴A（-4，0），b（6，0），
把點(diǎn)A（-4，0）代入y=ax²-2ax-6得a=$\frac{1}{4}$
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-6．

（2）∵△PBC的外接圓的圓心在線段BC的垂直平分線y=-x上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=6}\end{array}\right.$（舍棄），
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（4，-4），
如圖1中，作MN⊥AB于N，

∵M(jìn)P=MB，NM⊥PB，
∴PN=NB=2，
∴OP=2，AP=6，
∴t=6時(shí)圓心在拋物線上．

（3）①a、∵M(jìn)P=MB，
∴當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，∠PBM=45°，此時(shí)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，t=4．
b、如圖2中，當(dāng)∠PMB=45°時(shí)，設(shè)M（m，-m），

∵∠PMB=∠BOM，∠MBP=∠MBO，
∴△BMP∽△BOM，
∴$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BP}{BM}$，
∴BM²=BP•BO，
∴m²+（6-m）²=6（12-2m），
解得m=3$\sqrt{2}$或-3$\sqrt{2}$（舍棄），
此時(shí)AP=AB-PB=10-（12-6$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$-2，
∴t=6$\sqrt{2}$-2．
c、如圖3中，當(dāng)P在B右側(cè)時(shí)，∠PMB=45°，

由△PBM∽△PMO，得PM²=PB•PO，
∴m²+（m-6）²=（2m-12）（2m-6），
∴m=6+3$\sqrt{2}$或6-3$\sqrt{2}$（舍棄），
此時(shí)PB=6$\sqrt{2}$，AP=10+6$\sqrt{2}$，
∴t=10+6$\sqrt{2}$，
綜上所述，當(dāng)t=4s或（6$\sqrt{2}$-2）s或（10+6$\sqrt{2}$）s時(shí)，△MPB有一個(gè)內(nèi)角為45°．

②a、如圖4中，設(shè)⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則根據(jù)對(duì)稱性可知PC=BQ．

當(dāng)△PQM是等邊三角形時(shí)，PQ=PM，設(shè)P（m，0），
則有（$\sqrt{2}$m）²=（$\frac{m+6}{2}$）²+（$\frac{6-m}{2}$）²，
解得m=±2$\sqrt{3}$．
此時(shí)P（-2$\sqrt{3}$，0）或（2$\sqrt{3}$，0），
∴t=4-2$\sqrt{3}$和4+2$\sqrt{3}$．
b、∠如圖5中，作CQ⊥OC交⊙M于Q，根據(jù)對(duì)稱性可知，BQ=CP．

當(dāng)△PMQ是等邊三角形時(shí)，
∵PM=PQ，設(shè)P（m，0），作QN⊥x軸于N，
∵∠NPQ+∠BPQ=180°，∠BPQ+∠PCQ=180°，
∴∠NPQ=∠PCQ=45°，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ=6$\sqrt{2}$，
∴PM=PQ=6$\sqrt{2}$，
則有（$\frac{m-6}{2}$）²+（$\frac{m+6}{2}$）²=（6$\sqrt{2}$）²，
∴m=6$\sqrt{3}$或-6$\sqrt{3}$（舍棄），
∴此時(shí)P（6$\sqrt{3}$，0），t=4+6$\sqrt{3}$．
綜上所述t=（4-2$\sqrt{3}$）s或（4+2$\sqrt{3}$）s或（4+6$\sqrt{3}$）s時(shí)，點(diǎn)P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形．
故答案為（4-2$\sqrt{3}$）s或（4+2$\sqrt{3}$）s或（4+6$\sqrt{3}$）s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、三角形外接圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題，本題容易漏解，考慮問題要全面，屬于中考?jí)狠S題．