Question

2．如圖，△ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的外角平分線CF于點F，交∠ACB內角平分線CE于E．
（1）求證：OE=OF；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，試猜想當△ABC滿足什么條件時使四邊形AECF是正方形，請直接寫出你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形．
（3）利用已知條件及正方形的判定方法解答．

解答 解：（1）如圖1中，

∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）結論：當點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形．
理由：如圖2中，

如圖AO=CO，EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
同理，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）結論：當∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形
理由：∵∠BCA=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．．

點評 本題考查正方形的判定和性質、矩形的判定和性質、角平分線的定義、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住各種特殊四邊形的性質和判定方法，屬于中考�？碱}型．