Question

17．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，設(shè)△PAB、△PBC、△PDA的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，以下判斷：
①PA+PB+PC+PD的最小值為10；
②若△PAB≌△PDC，則△PAD≌△PBC；
③若S₁=S₂，則S₃=S₄；
④若△PAB∽△PDA，則PA=2.4
其中正確的是①②③④．

Answer 1

分析 ①當(dāng)點(diǎn)P是矩形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB+PC+PD的值最小，根據(jù)勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判斷；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PA=PC，PB=PD，那么P在線段AC、BD的垂直平分線上，即P是矩形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，易證△PAD≌△PBC，即可判斷；
③易證S₁+S₃=S₂+S₄，所以若S₁=S₂，則S₃=S₄，即可判斷；
④根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三點(diǎn)共線，根據(jù)三角形面積公式可得PA=2.4，即可判斷．

解答 解：①當(dāng)點(diǎn)P是矩形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB+PC+PD的值最小，根據(jù)勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值為10，故①正確；
②若△PAB≌△PCD，則PA=PC，PB=PD，所以P在線段AC、BD的垂直平分線上，即P是矩形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，所以△PAD≌△PBC，故②正確；
③若S₁=S₂，易證S₁+S₃=S₂+S₄，則S₃=S₄，故③正確；
④若△PAB～△PDA，則∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三點(diǎn)共線，P是直角△BAD斜邊上的高，根據(jù)面積公式可得PA=2.4，故④正確．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，全等三角形、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．