Question

7．如圖，在△ABC的兩邊AB，AC上向△ABC外作正方形ABEF，ACGH，過點(diǎn)A作BC的垂線分別交BC于點(diǎn)D，交FH于點(diǎn)M，求證：FM=MH．

Answer 1

分析 設(shè)∠FAM=α，∠HAM=β．根據(jù)三角形的面積公式得到S_△FAM=$\frac{1}{2}$AF•AM•sinα，S_△HAM=$\frac{1}{2}$AH•AM•sinβ，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠FAB=90°，于是得到∠FAM+∠BAD=90°，由已知條件得到∠ABD+∠BAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABD=∠FAM=α，同理∠ACD=∠AHM=β，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到AB•sinα=AD，AC•sinβ=AD，于是推出AF•sinα=AH•sinβ，于是得到S_△FAM=S_△HAM．即可得到結(jié)論．

解答 證明：設(shè)∠FAM=α，∠HAM=β．
∴S_△FAM=$\frac{1}{2}$AF•AM•sinα，S_△HAM=$\frac{1}{2}$AH•AM•sinβ，
∵四邊形ABEF是正方形，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠FAM=α，同理∠ACD=∠AHM=β，
∵AB•sinα=AD，AC•sinβ=AD．
又∵AB=AF，AC=AH，
∴AF•sinα=AH•sinβ，
∴S_△FAM=S_△HAM．
∴FM=HM．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，垂直的定義，三角函數(shù)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．