Question

9．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（-2，3），C（0，3），其頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點M（1，m），當(dāng)MB+MD的值最小時，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；
（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，找到B點關(guān)于直線x=1的對稱點B′，連接B'D，B'D與直線x=1的交點即是點M的位置，繼而求出m的值．
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減去較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（4）設(shè)出點E的，分情況討論，①當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，②當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，繼而求出點E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A，B，C點的坐標(biāo)代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{4a-2b+c=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3
（2）配方，得y=-（x+1）²+4，頂點D的坐標(biāo)為（-1，4）
作B點關(guān)于直線x=1的對稱點B′，如圖1，
則B′（4，3），由（1）得D（-1，4），
可求出直線DB′的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{19}{5}$，
當(dāng)M（1，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，
則m=-$\frac{1}{5}$×1+$\frac{19}{5}$=$\frac{18}{5}$．
（3）作PE⊥x軸交AC于E點，如圖2，
AC的解析式為y=x+3，設(shè)P（m，-m²-2m+3），E（m，m+3），
PE=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m
S_△APC=$\frac{1}{2}$PE•|x_A|=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，△APC的面積的最大值是$\frac{27}{8}$；
（4）由（1）、（2）得D（-1，4），N（-1，2）
點E在直線AC上，設(shè)E（x，x+3），
①當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，-x²-2x+3），
∵EF=DN
∴-x²-2x+3-（x+3）=4-2=2，
解得，x=-2或x=-1（舍去），
則點E的坐標(biāo)為：（-2，1）．
②當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，-x²-2x+3），
∵EF=DN，
∴（x+3）-（-x²-2x+3）=2，
解得x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
即點E的坐標(biāo)為：（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）
綜上可得滿足條件的點E為E（-2，1）或：（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）利用軸對稱求最短路徑；解（3）的關(guān)鍵是利用三角形的面積得出二次函數(shù)；解（4）的關(guān)鍵是平行四邊形的性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，要分類討論，以防遺漏．