Question

18．如圖，平行四邊形AOBC中，對(duì)角線交于點(diǎn)E，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)，若平行四邊形AOBC的面積為30，則k=10．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)點(diǎn)A在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上，表示出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在x軸上設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），然后過(guò)A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，又EF∥AD，得到EF為△ABD的中位線，可得EF為AD的一半，而AD為A的縱坐標(biāo)，可得出EF的長(zhǎng)，由OB-OD可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)F為BD的中點(diǎn)，得到FB的長(zhǎng)，由OB-FB可得出OF的長(zhǎng)，由E在第一象限，由EF和OF的長(zhǎng)表示出E的坐標(biāo)，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO與AD的積為平行四邊形的面積，表示出平行四邊形的面積，根據(jù)平行四邊形AOBC的面積為30，列出等式，將a=3x代入可得出k的值．

解答 解：如圖，過(guò)A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，設(shè)A（x，$\frac{k}{x}$），B（a，0），
∵四邊形AOBC是平行四邊形，
∴AE=EB，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2x}$，DF=$\frac{1}{2}$（a-x），OF=OD+DF=$\frac{a+x}{2}$，
∴E（$\frac{a+x}{2}$，$\frac{k}{2x}$），
∵E在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{a+x}{2}$•$\frac{k}{2x}$=k，
∴a=3x，
∵S_?AOBC=OB•AD=30，
∴a•$\frac{k}{x}$=3x•$\frac{k}{x}$=3k=30，
解得：k=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形及三角形的面積公式，以及點(diǎn)坐標(biāo)與線段的關(guān)系，是一道綜合性較強(qiáng)的題，本題的突破點(diǎn)是作出輔助線，建立點(diǎn)坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的聯(lián)系．