Question

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，若OI⊥AD，求tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 延長AD交⊙O于E，連接BE，BI，求出∠E=90°，根據(jù)內(nèi)心求出∠3=∠4，∠1=∠2，求出∠3=∠5，∠IBE=∠BIE，推出BE=IE，求出AE=2BE，解直角三角形求出tan∠CAD=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$，即可求出答案．

解答 解：
延長AD交⊙O于E，連接BE，BI，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠3=∠4，∠1=∠2（∠CAD=∠BAE），
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠5=∠1+∠3，
∴∠IBE=∠BIE，
∴BE=IE，
∵OI⊥AE，OI過O，
∴AE=2AI，
∴AE=2BE，
∴tan∠CAD=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BE}{2AE}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，能正確作出輔助線并求出AE=2BE是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．