Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A在y軸上，BC邊與x軸重合，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)分別交AB和y軸于點(diǎn)D、H，AB=HC，線(xiàn)段OB、OC（OB＜OC）的長(zhǎng)是方程x²-6x+8=0的根．
（1）求直線(xiàn)CD的解析式；
（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線(xiàn)段OA上的一動(dòng)點(diǎn)且2BP=3OQ，設(shè)BP=t，△OPQ的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，在平面上是否存在一點(diǎn)M，使得以P，Q，O，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）證明△AOB≌△COH，可求得OH=OB，可求得點(diǎn)H坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)CD的解析式；
（2）分點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)，分別用t表示出OP和OQ的長(zhǎng)，可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由條件可得OP=OQ，由（2）可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BAO+∠ABO=∠OCH+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠OCH，
在△AOB和△COH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠OCH}\\{∠AOB=∠HCO}\\{AB=CH}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COH（AAS），
∴OB=OH，
解方程x²-6x+8=0可得x=2或x=4，
∴OB=2，OC=4，
∴OH=2，
∴C（4，0），H（0，2），
設(shè)直線(xiàn)CD解析式為y=kx+b，
把C、H兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直線(xiàn)CD解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，即0＜t≤2時(shí)，連接PQ，如圖1，

則OP=OB-BP=2-t，
∵2BP=3OQ，
∴OQ=$\frac{2}{3}$BP=$\frac{2}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$t（2-t）=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t；
當(dāng)P在原點(diǎn)右側(cè)，即2＜t≤6時(shí)，連接PQ，如圖2，

則OP=BP-OB=t-2，
∵2BP=3OQ，
∴OQ=$\frac{2}{3}$BP=$\frac{2}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$t（t-2）=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{2}{3}$t；
綜上可知S與t的關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{t}^{2}+\frac{2}{3}t（0＜t≤2）}\\{\frac{1}{3}{t}^{2}-\frac{2}{3}t（2＜t≤6）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)P點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖3，

由（2）可知OP=2-t，OQ=$\frac{2}{3}$t，
∵四邊形OPMQ為正方形，
∴OP=OQ，
∴2-t=$\frac{2}{3}$t，解得t=$\frac{6}{5}$，
∴OP=OM=2-t=$\frac{4}{5}$，
∴M（-$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）；
當(dāng)P點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖4，

由（2）可知OP=t-2，OQ=$\frac{2}{3}$t，
∵四邊形OPMQ為正方形，
∴OP=OQ，
∴t-2=$\frac{2}{3}$t，解得t=6，
∴OP=OM=t-2=4，
∴M（4，4）；
綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（4，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中證明三角形全等求得H的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用t分別表示出OP和OQ是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)思想的應(yīng)用，在（3）中利用正方形的四邊相等求得t是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．