Question

17．如圖，拋物線y=x²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A在x軸上，點B的縱坐標為2，點P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標為m，直線AB與y軸交于點E，當m為何值時，以E，C，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由；
（3）在直線AB的下方的拋物線上存在點P，滿足∠PBD=45°，請直接寫出此時的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）只需先求出點A、B的坐標，然后運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）易求出點E、C的坐標，從而求出EC的長．易證EC∥DP，要使以E，C，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形，只需DP=EC，只需用含有m的代數(shù)式表示出點D、P的縱坐標，然后根據(jù)DP=EC建立關(guān)于m的方程并解此方程，就可解決問題；
（3）連接BP，與x軸交于點F，過點B作BH⊥x軸于H，過點F作FG⊥AB于G，如圖所示．要求點P的坐標，只需求出直線BP的解析式，只需求出點F的坐標，只需求出AF的長，易證△AOE∽△AGF∽△AHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=2GF，AH=2BH=4，根據(jù)勾股定理可得AB=2$\sqrt{5}$．由∠ABP=45°，F(xiàn)G⊥AB可得FG=BG．設(shè)FG=x，則有AG=2x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，從而可求出x，根據(jù)勾股定理可求出AF，問題得以解決．

解答 解：（1）∵點A、B在直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上，y_A=0，y_B=2，
∴x_A=-1，x_B=3，
∴A（-1，0），B（3，2）．
∵點A、B在拋物線y=x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$；

（2）∵點C是拋物線y=x²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$與y軸的交點，
∴C（0，-$\frac{5}{2}$）．
∵點E是直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$與y軸的交點，
∴E（0，$\frac{1}{2}$），
∴EC=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{5}{2}$）=3．
∵PD⊥x軸，
∴x_D=x_P=m，
∴y_D=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$，y_P=m²-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$，
∴DP=|m²-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$|=|m²-2m-3|．
∵EC⊥x軸，DP⊥x軸，
∴EC∥DP．
∴當DP=EC=3時，以E、C，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形，
此時|m²-2m-3|=3，
解得m₁=1+$\sqrt{7}$，m₂=1-$\sqrt{7}$，m₃=0，m₄=2．
∵點P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，
∴m=1+$\sqrt{7}$或2；

（3）點P的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
提示：連接BP，與x軸交于點F，過點B作BH⊥x軸于H，過點F作FG⊥AB于G，如圖所示．
易證△AOE∽△AGF∽△AHB，從而可得$\frac{GF}{AG}$=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{OE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
則有AG=2GF，AH=2BH=4，AB=2$\sqrt{5}$．
由∠ABP=45°，F(xiàn)G⊥AB可得FG=BG．
設(shè)FG=x，則AG=2x，AF=$\sqrt{5}$x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，
即可得到x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，AF=$\frac{10}{3}$，OF=AF-AO=$\frac{7}{3}$，F(xiàn)（$\frac{7}{3}$，0），
運用待定系數(shù)法可得直線BF的解析式為y=3x-7．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-7}\\{y={x}^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求直線與拋物線的交點坐標、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵，具有解三角形意識（在△ABF中知道三個元素∠BAF、∠ABF及AB可求AF等其它元素）是解決第（3）小題的關(guān)鍵．