Question

10．二次函數(shù)y=ax²-2ax+a-2的圖象與y軸交于點C，與x軸交于點A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OC²=OA•OB，則a=1或1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（m，0），B（n，0），利用二次函數(shù)的性質(zhì)和判別式的意義得到a≠0，△=4a²-4a（a-2）＞0，則a＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到mn=$\frac{a-2}{a}$，所以O(shè)A•OB=|mn|=|$\frac{a-2}{a}$|=$\frac{|a-2|}{a}$，再確定C（0，a-2），所以（a-2）²=$\frac{|a-2|}{a}$，然后討論：當(dāng)0＜a＜2時，（a-2）²=-$\frac{a-2}{a}$，當(dāng)a＞2時，（a-2）²=$\frac{a-2}{a}$，再分別解方程確定滿足條件的a的值．

解答 解：設(shè)A（m，0），B（n，0），
根據(jù)題意得a≠0，
△=4a²-4a（a-2）＞0，解得a＞0，
∵mn=$\frac{a-2}{a}$，
∴OA•OB=|mn|=|$\frac{a-2}{a}$|=$\frac{|a-2|}{a}$，
當(dāng)x=0時，y=a-2，則C（0，a-2），
∵OC²=OA•OB，
∴（a-2）²=$\frac{|a-2|}{a}$，
當(dāng)0＜a＜2時，（a-2）²=-$\frac{a-2}{a}$，整理得a²-2a+1=0，解得a₁=a₂=1，
當(dāng)a＞2時，（a-2）²=$\frac{a-2}{a}$，整理得a²-2a-1=0，解得a₁=1+$\sqrt{2}$，a₂=1-$\sqrt{2}$（舍去），
綜上所述，a的值為1或1+$\sqrt{2}$．
故答案為1或1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．