Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OACB是正方形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)P是射線AO上（異于點(diǎn)A、O）一動點(diǎn)，直線CP與對角線AB及y軸分別交于點(diǎn)E，D．
（1）若AP：PO=2：1，求直線CP函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)P在線段AO上，過點(diǎn)E作EF⊥y軸，垂足為F，當(dāng)△OFE≌△POD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，以PD為直徑作⊙M．
①判斷OE和⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)直線AB與⊙M相切時(shí)，直接寫出BE的長．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)P、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）由題意可知OF=OP時(shí)，△OEF≌△PDO，設(shè)OP=OF=x，則EF=BF=OD=AP=3-x，由OD∥AC，推出$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OP}{AP}$，列出方程即可解決問題．
（3）①OE是⊙M的切線．只要證明OM⊥OE即可．
②首先證明∠BEO=∠MEO=∠MEK=60°，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中，由∠OBH=45°，BC=3，推出BH=OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在Rt△OHE中，由∠EOH=30°，推出EH=OH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）①當(dāng)P在O左側(cè)時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，OA=3，
∴C（-3，3），
∵AP：OP=2：1，
∴AP=2，OP=1，
∴P（-1，0），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
②當(dāng)P在O右側(cè)時(shí)，同法可得直線PC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴O、C關(guān)于AB對稱，
∴∠BCP=∠BOE，
∵BC∥OA，
∴∠BCP=∠APC，
∵∠APC=∠DPO，
∴∠DPO=∠EOF，
∴OF=OP時(shí)，△OEF≌△PDO，設(shè)OP=OF=x，則EF=BF=OD=AP=3-x，
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OP}{AP}$，
∴$\frac{3-x}{3}$=$\frac{x}{3-x}$，
解得x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴P（$\frac{3\sqrt{5}-9}{2}$，0）．

（3）①結(jié)論：OE是⊙M的切線．
理由：如圖2中，

由（2）可知，∠EOF=∠DPO，
∵M(jìn)P=MO=MD，
∴∠MDO=∠MOP，
∵∠MDO+∠DPO=90°，
∴∠MOP+∠EOF=90°，
∴∠EOM=90°，
∴MO⊥OE，
∴OE是⊙M的切線．

②如圖3中，

∵直線AB與⊙M相切于K，OE與⊙M相切，
∴∠MEK=∠MEO，
∵∠MEK=∠CEB=∠BEO，
∴∠BEO=∠MEO=∠MEK=60°，作OH⊥AB于H，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=45°，BC=3，
∴BH=OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OHE中，∵∠EOH=30°，
∴EH=OH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EB=BH+EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．