Question

8．已知直線y=kx-8k（k＜0）與x軸、y軸分別交于A點、B點，拋物線
y=ax²+x+c經(jīng)過A點和B點，其頂點為M．
（1）直線y=kx-8k總經(jīng)過一個固定的點，請直接寫出這個固定點的坐標：（8，0）；
（2）當拋物線的對稱軸位于直線x=2的右側(cè)時，求k的取值范圍；
（3）當k=-$\frac{3}{4}$時，請判斷∠AMB是鈍角、直角、銳角中的哪一種，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將直線解析式變形為y=k（x-8），由此即可得出該直線過固定點（8，0）；
（2）根據(jù)直線的解析式找出點A、B的坐標，將其代入拋物線解析式中，用含k的代數(shù)式表示出a、c的值，再根據(jù)拋物線的對稱軸位于直線x=2的右側(cè)，即可得出關(guān)于k的不等式，解不等式即可得出結(jié)論；
（3）找出當k=-$\frac{3}{4}$時，點A、B、M的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求出AB、AM、BM的長度，根據(jù)AB²＞AM²+BM²即可得出∠AMB為鈍角．

解答 解：（1）∵y=kx-8k=k（x-8），
∴直線y=kx-8k總經(jīng)過一個固定的點（8，0）．
故答案為：（8，0）．
（2）當x=0時，y=-8k，
∴B（0，-8k）；
當y=0時，x=8，
∴A（8，0）．
將點A（8，0）、B（0，-8k）代入y=ax²+x+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-8k=c}\\{0=64a+8+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{k-1}{8}}\\{b=-8k}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{k-1}{8}$x²+x-8k．
∵拋物線的對稱軸位于直線x=2的右側(cè)，
∴-$\frac{1}{2×\frac{k-1}{8}}$＞2，
解得：k＞-1．
∵k＜0，
∴-1＜k＜0．
（3）∠AMB為鈍角，理由如下：
當k=-$\frac{3}{4}$時，點B的坐標為（0，6），
此時拋物線的解析式為y=-$\frac{7}{32}{x}^{2}$+x+6=-$\frac{7}{32}$$（x-\frac{16}{7}）^{2}$+$\frac{50}{7}$，
∴點M的坐標為（$\frac{16}{7}$，$\frac{50}{7}$）．
∵A（8，0），
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，AM=$\sqrt{（8-\frac{16}{7}）^{2}+（0-\frac{50}{7}）^{2}}$=$\frac{10}{7}\sqrt{41}$，BM=$\sqrt{（0-\frac{16}{7}）^{2}+（6-\frac{50}{7}）^{2}}$=$\frac{8}{7}\sqrt{5}$，
∵AB²=100，AM²+BM²=$\frac{4420}{49}$，100＞$\frac{4420}{49}$，
∴AB²＞AM²+BM²，
∴∠AMB為鈍角．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）將直線的解析式變形為y=k（x-8）；（2）用k表示出a的值；（3）求出AB、AM、BM的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．