Question

16．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（c≠4a），其圖象L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）．
（1）求證：b²-4ac＞0；
（2）若點(diǎn)B（-$\frac{c}{2a}$，b+3）在圖象L上，求b的值；
（3）在（2）的條件下，若圖象L的對(duì)稱軸為直線x=3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，-8），點(diǎn)D（0，n）在y軸負(fù)半軸上，直線BD與OC相交于點(diǎn)E，當(dāng)△ODE為等腰三角形時(shí)，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得b=2a+$\frac{1}{2}$c，根據(jù)根的判別式，可得答案；
（2）根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 （1）證明：由圖象L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0，得
4a-2b+c=0，
∴b=2a+$\frac{1}{2}$c．
∴b²-4ac=（2a+$\frac{1}{2}$c）²-4ac=（2a-$\frac{1}{2}$c）²．
∵c≠4a，
∴2a-$\frac{1}{2}$c≠0，
∴（2a-$\frac{1}{2}$c）²＞0，即b²-4ac＞0．

（2）解：∵點(diǎn)B（-$\frac{c}{2a}$，b+3）在圖象L上，
∴$a•\frac{c^2}{{4{a^2}}}+b•（-\frac{c}{2a}）+c=b+3$，整理，得
$\frac{c（4a-2b+c）}{4a}=b+3$．
∵4a-2b+c=0，
∴b+3=0，解得
b=-3．

（3）解：由題意，得$-\frac{-3}{2a}=3$，且36a-18+c=-8，解得a=$\frac{1}{2}$，c=-8．
∴圖象L的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8．
設(shè)OC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，圖象L與y軸相交于點(diǎn)P，
則Q（3，-4），P（0，-8），OQ=PQ=5．
分兩種情況：①當(dāng)OD=OE時(shí)，如圖1，
，
過(guò)點(diǎn)Q作直線MQ∥DB，交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，
則$\frac{OM}{OD}=\frac{OQ}{OE}$，
∴OM=OQ=5．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-5）．
設(shè)直線MQ的解析式為y=k₁x-5．
∵M(jìn)Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（3，-4），
∴3k₁-5=-4，解得
${k_1}=\frac{1}{3}$．
∴MQ的解析式為$y=\frac{1}{3}x-5$．
易得點(diǎn)H（15，0）．
又∵M(jìn)H∥DB，
$\frac{OD}{OM}=\frac{OB}{OH}$．
即$\frac{-n}{5}=\frac{8}{15}$，
∴$n=-\frac{8}{3}$．
②當(dāng)EO=ED時(shí)，如圖2，
，
∵OQ=PQ，
∴∠1=∠2，又EO=ED，
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3，
∴PQ∥DB．
設(shè)直線PQ交于點(diǎn)N，其函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x-8
∴3k₂-8=-4，解得${k_2}=\frac{4}{3}$．
∴PQ的解析式為$y=\frac{4}{3}x-8$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，0）．
∵PN∥DB，
∴$\frac{OD}{OP}=\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-n}{8}=\frac{8}{6}$，解得$n=-\frac{32}{3}$．
綜上所述，當(dāng)△ODE是等腰三角形時(shí)，n的值為$-\frac{8}{3}$或$-\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用根的判別式；解（2）的關(guān)鍵是利用圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式得出關(guān)于b的方程；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于n的方程，要分類討論，以防遺漏．