Question

4．已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
①直接寫出t=1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當(dāng)k=-$\frac{3}{4}$時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），
①求CD的長(zhǎng)；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)直線方程求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得OA的長(zhǎng)度；然后根據(jù)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離即可求得點(diǎn)C、Q的橫坐標(biāo)；將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入直線方程即可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
②需要分類討論：①當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP；②當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，△AOB、△ACQ都是等腰直角三角形，AQ=2CP．
（2）①以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線，解得關(guān)于t的根，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，再由△DEC∽△AOB，從而解得．
②先求得三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，在線段比例中t為$\frac{36}{25}$時(shí)，h最大．

解答 解：（1）①∵直線y=-x+3分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴令y=0，則x=3，即A（3，0）．
∴OA=3；
∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒鐘，
∴OP=1，
∵點(diǎn)C在直線AB上，
∴y_c=-1+3=2，
∴C（1，2），
∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1秒鐘，且在x軸上，
∴AQ=1，
∴OQ=OA-AQ=2，
∴Q（2，0）．
綜上所述，C（1，2），Q（2，0）；

②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分兩種情況討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）①由題意得：C（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y=（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3，
由（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
即（x-t）²+$\frac{3}{4}$（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+$\frac{3}{4}$）=0，
解得x₁=t，x₂=t-$\frac{3}{4}$．
如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE×AB}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×5}{4}$=$\frac{15}{16}$，
②∵DC=$\frac{15}{16}$，CD邊上的高=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_△COD為定值．
如圖2，要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，
此時(shí)OC的長(zhǎng)為$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，
∴$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{AB}$，OP=$\frac{OC×BO}{AB}$=$\frac{\frac{12}{5}×3}{5}$=$\frac{36}{25}$，
即t=$\frac{36}{25}$，
故當(dāng)t為$\frac{36}{25}$秒時(shí)，h的值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，以及相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解答題時(shí)，注意要分類討論，以防漏解．