Question

17．在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH⊥AP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB．

Answer 1

分析 如圖，延長BH交AC的延長線于E，延長AM，使得MN=AM．連接BN，CN．只要證明$\frac{AQ}{NQ}$=$\frac{PB}{PC}$，推出$\frac{MA+MQ}{AM-MQ}$=$\frac{BM+PM}{BM-PM}$，即$\frac{AM}{MQ}$=$\frac{BM}{PM}$，即可證明．

解答 解：如圖，延長BH交AC的延長線于E，延長AM，使得MN=AM．連接BN，CN．

∵BM=CM，AM=MN，
∴四邊形ABNC是平行四邊形，
∴BN∥AE，BN=AC，
∴$\frac{BN}{AE}$=$\frac{NQ}{AQ}$，
∵∠BAH=∠EAH，AH⊥BE，
∴∠AHB=∠AHE=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，∠E+∠EAH=90°，
∴∠E=∠ABE，
∴AB=AE，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AQ}{NQ}$，
∵AP平分∠BAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BP}{PC}$，
∴$\frac{AQ}{NQ}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴$\frac{MA+MQ}{AM-MQ}$=$\frac{BM+PM}{BM-PM}$，
∴2AM•PM=2MQ•BM，
∴$\frac{AM}{MQ}$=$\frac{BM}{PM}$，
∴PQ∥AB．

點評 本題長相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，題目比較難，用到角平分線的性質(zhì)定理，比例的性質(zhì)．