Question

14．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線交BC，AB于點(diǎn)E，M，邊AC的垂直平分線交BC，AC于點(diǎn)F，N，△AEF的周長是10．
（1）求BC的長度；
（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE=AE，F(xiàn)A=FC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意得到∠EAF=90°，利用完全平方公式解答．

解答 解：（1）∵M(jìn)E是邊AB的垂直平分線，NF是AC的垂直平分線，
∴BE=AE，F(xiàn)A=FC，
∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=10；
（2）∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAC=135°，
∵BE=AE，F(xiàn)A=FC，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAF=90°，
∴AE²+AF²=16，又AE+AF=10-4=6，
∴△AEF的面積=$\frac{1}{2}$AE×AF=$\frac{1}{4}$[（AE+AF）²-（AE²+AF²）]=5

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．