Question

10．問題：如圖（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，試探究AD、DE、EB滿足的等量關(guān)系．
[探究發(fā)現(xiàn)]
小聰同學(xué)利用圖形變換，將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，連接EH，由已知條件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．
根據(jù)“邊角邊”，可證△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關(guān)系是AD²+EB²=DE²．
[實踐運用]
（1）如圖（2），在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)；
（2）在（1）條件下，連接BD，分別交AE、AF于點M、N，若BE=2，DF=3，BM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，運用小聰同學(xué)探究的結(jié)論，求正方形的邊長及MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性質(zhì)即可求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，設(shè)AG=x，則CE=x-2，CF=x-3．因為CE²+CF²=EF²，所以（x-2）²+（x-3）²=5²．解這個方程，求出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN²=MB²+ND²，MN=a，${a}^{2}=（3/2\sqrt{2}）^{2}+（6\sqrt{2}-3/2\sqrt{2}-a）^{2}$，所以a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．即MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：根據(jù)“邊角邊”，可證△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關(guān)系是AD²+EB²=DE²；故答案為：△CDE；勾股；AD²+EB²=DE²；
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=2，DF=FG=3，則EF=5，
設(shè)AG=x，則CE=x-2，CF=x-3，
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，
解這個方程，得x₁=6，x₂=-1（舍去），
∴AG=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2A{G}^{2}}=6\sqrt{2}$，
∴AB=6，
∵MN²=MB²+ND²
設(shè)MN=a，則${a}^{2}=（3/2\sqrt{2}）^{2}+（6\sqrt{2}-3/2\sqrt{2}-a）^{2}$，
所以a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用和一元二次方程的運用，題目的綜合性很強，難度不�。�