Question

10．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=45°，點D是邊AB上任意一點，連接CD．若∠BCD=15°，以線段CD為邊在CD的有上方作正△CDE，連接BE，點F在線段CD上，且CF=BD，連接BF．求證：BE=BF．

Answer 1

分析 連接EF，根據(jù)已知條件得到∠CDA=60°，由∠A=60°，推出△ACD為等邊三角形，證得∠CDA=60°，由于△CDE是等邊三角形，CE=DE，得到∠ECD=∠CDE=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，EF=EB，推出△EFB是等邊三角形，于是得到BE=BF．

解答 證明：連接EF，
∵∠ABC=45°，∠BCD=15°，
∴∠CDA=60°，
∵∠A=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠CDA=60°，
∵△CDE是等邊三角形，CE=DE，
∴∠ECD=∠CDE=60°，
∴∠EDB=180°-∠CDA-∠CDE=60°，
在△ECF與△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DE}\\{∠ECF=∠EDB=60°}\\{CF=BD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△EDB，
∴∠1=∠2，EF=EB，
∵△CDE是等邊三角形，
∴∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∵EF=EB，
∴△EFB是等邊三角形，
∴BE=BF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．