Question

20．如圖，在△ABC中，AC=4，BC=2，點D是邊AB上一點，CD將△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC為底的等腰三角形，且△BCD與△BAC相似，則CD的長為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$
• B． 2
• C． 4$\sqrt{2}$-4
• D． $\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到AD=CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，設(shè)CD=x，BD=y，得到$\frac{2}{x+y}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{x}{4}$，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{xy+{y}^{2}=4}\\{4y=2x}\end{array}\right.$即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ACD是以AC為底的等腰三角形，
∴AD=CD，
∵△BCD與△BAC相似，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，
設(shè)CD=x，BD=y，
∴$\frac{2}{x+y}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy+{y}^{2}=4}\\{4y=2x}\end{array}\right.$，
解得：x=2y，
∴y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故選D．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到方程組是解題的關(guān)鍵．