Question

15．Rt△ABC中，BC為較長(zhǎng)的直角邊，它是較短直角邊長(zhǎng)的兩倍，把△ABC放入直角坐標(biāo)系，若點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A₁（2，5），A₂（4，3），A₃（0，3），A₄（2，1）．

Answer 1

分析 由點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出BC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），分兩種情況進(jìn)行討論：①如果∠ACB=90°，那么AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，依此列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=2}\\{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=10}\end{array}\right.$；②如果∠ABC=90°，那么AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，依此列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=2}\\{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=10}\end{array}\right.$，解方程組即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：∵點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），
∴BC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵Rt△ABC中，BC為較長(zhǎng)的直角邊，它是較短直角邊長(zhǎng)的兩倍，
∴較短直角邊長(zhǎng)是$\sqrt{2}$，斜邊長(zhǎng)是$\sqrt{8+2}$=$\sqrt{10}$．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），BC為直角邊時(shí)，分兩種情況：
①如果∠ACB=90°，那么AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=2}\\{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A₁（2，5），A₂（4，3）；
②如果∠ABC=90°，那么AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=2}\\{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A₃（0，3），A₄（2，1）；
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為A₁（2，5），A₂（4，3），A₃（0，3），A₄（2，1）．
故答案為A₁（2，5），A₂（4，3），A₃（0，3），A₄（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，二元二次方程組的解法，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．