Question

7．如圖，在菱形ABCD中，∠B=120°，AB=4，點E是BC的中點，點F在CD邊上，點C關(guān)于EF的對稱點為C′，連接EC′，F(xiàn)C′，當(dāng)點F從C運(yùn)動到點D的過程中，AC′長度的最大值與最小值的差為4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2．

Answer 1

分析 先確定最大值：①當(dāng)F與C重合時，C′與C重合，AC′=AC最大，作對角線求AC即可；
②如圖2因為C與C′關(guān)于EF對稱，所以當(dāng)點F從C運(yùn)動到點D的過程中，C′在以E為圓心，以EC為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點C′在AE上時，AC′最小，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理求AE和C′E的長，根據(jù)AC′=AE-C′E=2$\sqrt{7}$-2，最后計算最大值與最小值的差即可．

解答 解：①如圖1，當(dāng)F與C重合時，C′與C重合，AC′=AC最大，
連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}×120°$=60°，
Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴OB=2，
∴AO=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC′=AC=4$\sqrt{3}$；

②如圖2，因為C與C′關(guān)于EF對稱，所以當(dāng)點F從C運(yùn)動到點D的過程中，C′在以E為圓心，以EC為半徑的圓上運(yùn)動，
∵AE、C′E的長度為定值，
∴當(dāng)點C′在AE上時，AC′最小，
過點A作AG⊥BC，交CB的延長線于點G，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=120°、AB=4，
∴∠ABG=60°，BG=2，AG=2$\sqrt{3}$，
∴GE=2+1=3，
∴AE=$\sqrt{A{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
則AC′=AE-C′E=2$\sqrt{7}$-2，
∴4$\sqrt{3}$-（2$\sqrt{7}$-2）=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2，
AC′長度的最大值與最小值的差為：4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2，
故答案為：4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2．

點評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形30°角的性質(zhì)，確定最大值和最小值時點C′的位置是解題關(guān)鍵．