Question

9．如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，D、E為斜邊AB上的點，∠DCE=45°，若AD=2，DE=5，則BE的長是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\sqrt{19}$
• D． $\sqrt{21}$

Answer 1

分析 將△CEB繞點C逆時針旋轉90°，得到△ACF，連結DF，根據旋轉的性質可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，從而得到∠DCE=∠DCF，再利用“邊角邊”證明△CDE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理得出DE²=AD²+BE²，由此即可解決問題．

解答 如圖，將△BCE繞點C逆時針旋轉90°，得到△ACF，連結DF．
由旋轉的性質得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCE=∠DCF}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+BE²，
∵AD=2，DE=5
∴BE=$\sqrt{21}$；

點評 本題考查了作圖-旋轉變換，作圖-翻折變換，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，難度適中．準確作出旋轉后的圖形是解題的關鍵．