Question

8．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點(diǎn)P是底邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，若PM+PN的最小值為2，則△ABC的周長是（　�。�

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 首先要明確P點(diǎn)在何處，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M′，根據(jù)勾股定理求出MN的長，由三角形中位線的性質(zhì)及三角函數(shù)分別求出AB、BC、AC的長，從而得到△ABC的周長．

解答 解：作M點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M′，連接M'N，與AC的交點(diǎn)即是P點(diǎn)的位置，
∵M(jìn)，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{PM′}{PN}$=$\frac{KM′}{KM}$=1，
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
在△MBP和△NBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=BM}\\{BP=BP}\\{PN=PM}\end{array}\right.$，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：當(dāng)PM+PN最小時(shí)P在AC的中點(diǎn)，
∵PM+PN的最小值為2，
在Rt△PMK中，PM=1，∠MPK=30°，
∴KM=$\frac{1}{2}$，PK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MN=2PK=$\sqrt{3}$
∴AC=2$\sqrt{3}$，
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周長為：2+2+2$\sqrt{3}$=4+2$\sqrt{3}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱最短路線，及三角函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用．正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．