Question

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△APQ，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)Q落在AB邊上．連接BP，過點(diǎn)P作PH垂直于射線CA，垂足為H．
（1）如圖1，若點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，求∠BPQ的度數(shù)；
（2）如圖2，若點(diǎn)H在CA邊上（不與點(diǎn)A重合），BC=x，請用含x的代數(shù)式表示AH；
（3）若∠APB=∠PAH，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)得到△ABC≌APQ，再判斷出△APQ為等腰直角三角形，最后進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先求出AB=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，再用△ABC∽△PMQ，表示出AM，最后△AMH∽△ABC求出AH，
（3）先判斷出△PAB和△ABD是等腰三角形，用△APB∽△DPA得到比例式列出方程，求解即可．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)得，△ABC≌APQ，
∴∠PAQ=∠BAC，AP=AB，AQ=AC，PQ=BC，PQ⊥AB，
∵PH⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∴∠PAQ=∠BAC=45°，
∴△APQ為等腰直角三角形，
∴∠APQ=45°，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠ABP=67.5°，
∴∠BPQ=∠APB-∠APQ=22.5°，
（2）由旋轉(zhuǎn)得，AQ=AC=1，PQ=BC=x，
∴AB=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
設(shè)PH交AB于M，
∴△ABC∽△PMQ，
∴$\frac{MQ}{BC}=\frac{PQ}{AC}$，
∴$\frac{MQ}{x}=\frac{x}{1}$，
∴MQ=x²，
∴AM=1-x²，
∵△AMH∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AH}{AC}$，
∴$\frac{1-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\frac{AH}{1}$，
∴AH=$\frac{1-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
（3）①當(dāng)點(diǎn)H在線段AC上時(shí)，如圖1，

延長PD交AC延長線于D，
∴∠PAB=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠PAH，∠APB=∠ABP，
∵∠PAH=∠APB，
∴∠APB=∠ABP=2∠PAB，
∴∠PAB=∠BAC=36°，∠APB=∠PAH=72°，
∴∠D=∠BAC=36°，
∴△PAB和△ABD是等腰三角形，
∴AP=AB=BD，AD=PD，
∵BC⊥AC，
∴PD=AD=2AC=2，
設(shè)AB=x，
∵△APB∽△DPA，
∴$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{PD}$，
∴$\frac{PB}{x}=\frac{x}{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$x²，
∵BD=PD-PB，
∴x=2-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（舍），
∴AB=-1+$\sqrt{5}$．
②當(dāng)點(diǎn)H在射線CA上時(shí)，如圖2，

∵∠APB=∠PAH，
∴PB∥HC，
∵∠H=∠C=90°，PA=AB，
∴△PAH≌△BAC，
∴AH=AC=1，
∵PA=BA，
∴∠APB=∠ABP=∠PAD，
∴△ADP∽△PAB，
設(shè)AB=x，
∴$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{PD}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{x}{PD}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$x²，
∵BD=PB-PD，
∴x=2-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（舍），
∴AB=-1+$\sqrt{5}$
即：AB的長為-1+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是用相似得到的比例式表示線段．