Question

3．如圖，△ABC中，AB=BC=a（a為常數(shù)），∠B=90°，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，DE⊥DF，過點(diǎn)C作CG⊥BE交DE于點(diǎn)G，則四邊形DFCG的面積為$\frac{1}{4}$a²（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 連結(jié)BD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=CD，
∠FBD=∠GCD=45°，根據(jù)等角的余角相等可得∠BDF=∠CDG，根據(jù)ASA證明△BDF≌△CDG，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．

解答 解：連結(jié)BD，
∵△ABC中，AB=BC=a（a為常數(shù)），∠B=90°，D是AC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，∠FBD=∠FCD=45°，
∵CG⊥BE，
∴∠FBD=∠GCD=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠BDF=∠CDG，
在△BDF與△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDG}\\{BD=CD}\\{∠FBD=∠GCD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDG，
∴四邊形DFCG的面積=三角形CDF的面積+三角形CDG的面積=三角形CDF的面積+三角形BDF的面積═三角形BCD的面積=$\frac{1}{2}$×三角形ABC的面積=$\frac{1}{4}$a²．
故答案為：$\frac{1}{4}$a²．

點(diǎn)評 此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)ASA證明△BDF≌△CDG．