Question

1．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“果圓”．如圖，A，B，C，D是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點，點D的坐標(biāo)為（0，8），且AB=6，點P是以AB為直徑的半圓的圓心，P的坐標(biāo)為（1，0），連接DB，AD，動點E，F(xiàn)分別從A，O兩點出發(fā)，以相同的速度沿x軸正方向運動，當(dāng)F到達(dá)B點時兩點同時停止，過點F作FG∥BD交AD于點G．
（1）求“果圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）在“果圓”上是否存在一點H，使得△DBH為直角三角形？若存在，求出H點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)M，N分別是GE，GF的中點，求在整個運動過程中，MN所掃過的圖形面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把點D（0，8）代入即可求出a，解決問題．
（2）分三種情形討論①D是直角頂點．②B是直角頂點．③H是直角頂點．分別求出點H坐標(biāo)即可．
（3）根據(jù)MN所掃過的圖形是平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）由題意，D（0，8），A（-2，0），B（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把點D（0，8）代入得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+8．

（2）如圖1中，

①當(dāng)D為直角頂點時，
∵直線BD解析式為y=-2x+8，
∵DH₁⊥BD，
∴直線DH₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+8}\\{y=-{x}^{2}+2x+8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{35}{4}}\end{array}\right.$，
∴點H₁坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）．
②當(dāng)B為直角頂點時，直線BH₂解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，設(shè)H₂（m，$\frac{1}{2}$m-2），
由題意PH₂=3，
∴（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m-2）²=9，
整理得到5m²-16m-16=0，
解得m=-$\frac{4}{5}$或4，
∴點H₂坐標(biāo)為（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
③當(dāng)H為直角頂點時，設(shè)H（m，-m²+2m+8），BD的中點K（2，4）
由題意HK=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$，
∴（m-2）²+（-m²+2m+4）²=20，
∴m（m-4）（m²-3）=0，
∴m=0或4或$±\sqrt{3}$，
∴H₃（$\sqrt{3}$，5+2$\sqrt{3}$），H₄的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，5-2$\sqrt{3}$）．
綜上所述，滿足條件的點H的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）或（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）或（$\sqrt{3}$，5+2$\sqrt{3}$）或（-$\sqrt{3}$，5-2$\sqrt{3}$）．

（3）如圖3中，設(shè)M₁N₁是起始位置，M₂N₂S 終止位置．

∵M(jìn)₁N₁∥AB，M₂N₂∥AB，
M₁N₁=$\frac{1}{2}$E₁F₁=1，M₂N₂=$\frac{1}{2}$E₂F₂=1，
∴M₁N₁∥M₂N₂，M₁N₁=M₂N₂，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂是平行四邊形，作N₁G⊥AB于J，N₂H⊥AB于H．
∵DN₂=BN₂，HN₂∥OD，
∴OH=BH，
∴HN₂=$\frac{1}{2}$DO=4，
∵∠N₁OJ=∠N₂BH，∠N₁JO=∠N₂HB，
∴△N₁JO∽△N₂HB，
∴$\frac{{N}_{1}J}{{N}_{2}H}$=$\frac{O{N}_{1}}{B{N}_{2}}$，
∴N₁J=$\frac{4}{3}$，
∴MN所掃過的圖形面積就是平行四邊形M₁N₁N₂M₂的面積=1×（4-$\frac{4}{3}$）=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、直角三角形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、兩點間距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，學(xué)會利用特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．